一、考试的总体要求
考察学生对《实变函数》、《复变函数》、《常微分方程》、《组合数学》、《离散数学》、《微分几何》、《点集拓扑》、《数学物理方程》、《数值计算》、《近世代数》、《概率论基础》等数学基础理论的基本概念、基本理论和基本方法的掌握程度。
二、考试的内容
实变函数:(外)测度、可测集、(非负)可测函数、点态收敛与依测度收敛定理、(非负)函数可积性、积分与极限的可交换性(Fatou定理、控制收敛定理等)、Fubini定理、BV函数与函数可微性、几类基本的积分不等式(Hölder、Minkowski等);
复变函数:解析函数;复积分理论;解析函数的级数展开;留数定理等;
常微分方程:常见偏微分方程的求解方法;一阶微分方程解的存在性理论;
组合数学:基本计数原理,容斥原理,生成函数,图的基本概念,平面图的欧拉公式;
离散数学:集合与映射,数理逻辑,图论的基本概念和基本理论;
微分几何:以曲线曲面的局部微分几何为主, 包括基本的概念、方法和一些主要的性质、结论及重要定理;
点集拓扑:拓扑空间、连续映射、子空间、乘积空间、商空间的定义、性质及相关定理, 理解拓扑空间的连通性、道路连通性、紧致性、分离性;
数学物理方程:几类线性偏微分方程的经典解法;
数值计算:插值法,函数逼近,数值积分和数值微分,线性方程组的直接解法 和 迭代解法,代数特征值问题的数值解法;
近世代数:群,环,域的基本概念和基本理论,包括群,子群,正规子群,商群,群同态基本定理,环,理想,整环,唯一分解整环,环同态基本定理,域,扩域,代数扩张,分裂域,正规扩张等;
概率论基础:古典概型的模型和计算公式、二项分布与泊松分布、条件概率与全概率公式、随机变量与分布函数、数字特征(数学期望、方差、相关系数、矩)、特征函数、收敛性、极限定理。
三、考试形式及时间
笔试及综合面试,涉及上述部分科目。笔试的考试形式为解答题,时间为 90 分钟。
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