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2024中国石油大学(华东)硕士研究生复试《数学综合》考试大纲

来源:在职研究生招生网 时间:2024-01-25 16:04:01
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  一、考试要求

  理解距离空间、赋范空间和巴拿赫空间等概念,掌握巴拿赫空间的基本性质、 线性算子和线性泛函的基本知识,掌握开映射定理、闭图象定理、共鸣定理和哈 恩- 巴拿赫等定理,掌握希尔伯特空间的基本性质、希尔伯特空间正交化方法、投影定理及其应用。

  理解误差的基本概念, 掌握非线性方程的数值解法, 线性方程组的直接法, 多项式插值方法,最佳逼近,数值积分与微分,线性与非线性方程组的迭代解法,常微分方程初值问题的数值解法。

  理解微分方程、初始条件等基本概念, 掌握一阶微分方程的类型及解法,掌 握一阶微分方程解的存在与唯一性定理, 会用逐步逼近法求近似解,掌握求解高 阶微分方程的理论和方法, 掌握求解线性方程组的方法,会求解简单常系数的线性方程组。

  二、考试内容

  (一)泛函分析初步考试内容(30 分)

  1. 距离空间:

  (1) 距离空间的定义及例,距离空间中的收敛及其性质;

  (2) 几类特殊的点集, 稠密性与可分性;同胚,等距;

  (3) 完备距离空间;第一及第二类型的集;

  (4) 准紧集,紧集,全有界集;紧集上的连续映射;

  (5) 压缩映射,不动点定理及应用。

  2. 巴拿赫空间与希尔伯特空间:

  (1) 赋范线性空间, 巴拿赫空间;商空间;

  (2) 内积空间,极化恒等式,希尔伯特空间;

  (3) 正交与正交分解, 规范正交系;施密特正交化定理。

  3. 巴拿赫空间上的有界线性算子:

  (1) 有界线性算子的概念与性质,线性算子空间,算子的乘法;

  (2) 开映射定理,逆算子定理,闭图像定理;

  (3) 共鸣定理,傅里叶级数的发散问题;

  (4) 有界线性泛函的延拓,哈恩- 巴拿赫定理;

  (5) 对偶空间,自反空间,伴随算子;

  (6) 有界线性算子谱的基本性质;紧算子,有限秩算子。

  4. 希尔伯特空间上的有界线性算子:

  (1) 希尔伯特空间上的有界线性算子,对偶空间,伴随算子;

  (2) 自伴算子,正算子,单调自伴算子列。

  (二)数值计算方法考试内容(35 分)

  1.引论:

  (1) 求绝对误差、相对误差与有效数字;

  (2) 数值稳定性和数值稳定的算法;

  (3) 掌握数值计算的几个原则,如尽量避免相近数相减等。

  2.非线性方程的数值解法:

  (1) 用二分法求解非线性方程的数值解;

  (2) 构造求非线性方程的收敛的迭代方法;

  (3) 用 Newton 迭代法求非线性方程的数值解。

  3. 线性方程组的直接解法:

  (1) 用 Gauss 消去法和选主元的 Gauss 消去法求解线性方程组;

  (2) 求矩阵的 LU 分解和用平方根方法求线性方程组的解;

  (3) 求向量的范数和矩阵的范数;

  (4) 求方程组或矩阵的条件数、判断方程组的病态性。

  4. 多项式插值:

  (1) 求 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式;

  (2) 解释 Runge 现象;

  (3) 解释样条函数和三次样条插值函数。

  5. 最佳逼近:

  (1) 解释一致逼近和平方逼近多项式;

  (2) 求线性方程组的最小二乘解;

  (3) 求一些简单的可化为线性拟合的非线性拟合问题。

  6. 数值积分与微分:

  (1) 求数值积分公式的代数精度;

  (2) 用 Newton-Cotes 公式计算数值积分;

  (3) 用复化的求积公式计算数值积分并估计误差;

  (4) 用基本的数值微分两点公式和三点公式计算。

  7. 线性与非线性方程组的迭代解法:

  (1) 用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求线性方程组的数值解;

  (2) 判断一般线性方程组的迭代法的收敛性;

  (3) 用 Newton 法求非线性方程组的数值解。

  8. 常微分方程初值问题的数值解:

  (1) 用向前和向后的 Euler 法求常微分方程的数值解;

  (2) 用简单的 Runge-Kutta 公式计算常微分方程的数值解;

  (3) 判断线性多步的预测-校正方法的阶。

  (三)常微分方程考试内容(35 分)

  1. 引论:

  (1) 利用微分方程解决实际问题的建模方法;

  2. 基本概念:

  (1) 微分方程、阶、通解与特解、初始条件与初值问题、积分曲线。

  3. 一阶微分方程的类型及解法:

  (1) 掌握变量分离方程与变量变换法;

  (2) 可化为变量分离方程的类型;

  (3) 线性方程与常数变易法(含伯努利方程);

  (4) 恰当方程与积分因子法;

  (5) 一阶隐方程及参数表示。

  4 .一阶微分方程的解的存在定理:

  (1) 一阶微分方程解的存在与唯一性定理,会用逐步逼近法求近似解;

  (2) 解的延拓;

  (3) 解对初值的连续性和可微性定理。

  5. 高阶微分方程:

  (1) 高阶微分方程的一般理论;

  (2) 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的性质与结构;

  (3) 常系数线性微分方程的解法;

  (4) 欧拉方程;

  (5) 可降阶的微分方程。

  6. 线性方程组:

  (1) 线性微分方程与线性微分方程组之间的等价关系;

  (2) 线性微分方程组的解的存在性定理;

  (3) 简单常系数线性微分方程组。

  三、参考书目

  1.《实变函数与泛函分析基础》(第三版),程其襄、张奠宙等,高等教育出版社,2010.

  2.《数值计算方法》(第三版),李维国、 聂立新,石油工业出版社,2019.

  3.《常微分方程》 (第三版),王高雄、周之铭等,高等教育出版社, 2006.

   注:本文文字转载自中国石油大学(华东)理学院网,如有侵权,请联系删除。

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