2025年中国海洋大学硕士研究生复试《数学综合》考试大纲

　　闭卷考试，满分为100分，考试时间：120分钟。综合试卷包括实变函数、计算方法、常微分方程、概率论与数理统计四门科目，考试范围为上述科目的基本内容，考试时考生在以上四门科目中任选二门。复试内容大纲如下：

　　①实变函数

　　一、考试性质

　　实变函数是数学相关专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。

　　二、考查目标

　　实变函数是近代分析数学的基础，是数学分析的延续与拓广。考试以考查基本知识为主，考核对重要定理的理解和应用。旨在测试考生对集合论、可测集、可测函数、可积函数等基本定义概念的理解和掌握。要求考生理解实变函数的基本概念和基本理论;掌握其基本论证方法和常用结论;具备较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。

　　三、考试形式

　　闭卷考试，本部分满分为50分。

　　试卷结构：客观题和简答题约占50%，证明题约占50%。

　　四、考试内容

　　(一)集合论

　　1.集合的各种运算，上、下限集的定义

　　2.集合的对等，集合的基数，集合的可列性;

　　3.开集、闭集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性质;点集的内部、导集、闭包、边界;Cantor三分集的结构和性质;

　　4.点到集合的距离，集合间的距离。

　　(二)可测集

　　1.外测度、测度和可测集的概念及其性质，集合可测性的判别方法;

　　2.开集、闭集的可测性，以及它们与可测集之间的联系。

　　(三)可测函数

　　1.可测函数的概念及其性质;

　　2.函数可测性的判别方法，其与简单函数的联系;

　　3.可测函数列几种收敛性之间的关系(包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛、测度收敛);

　　4.可测函数和连续函数的联系

　　5.叶果洛夫(Egoroff)定理、里斯(Riesz)定理、鲁津(Rusin)定理的含义及应用;

　　(四)Lebesgue积分

　　1.Lebesgue积分的定义及其性质，函数可积性的判定;

　　2.积分收敛定理(勒维(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和Lebesgue控制收敛定理，Vitali定理)及应用;

　　3.Riemann积分与Lebesgue积分之间的区别和联系; Fubini定理。

　　五、是否需使用计算器

　　否。

　　②计算方法

　　一、考试性质

　　计算方法是数学相关专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。

　　二、考查目标

　　要求考生理解数值计算的基本方法及基本理论，掌握基本数值方法的理论分析技巧, 具有把数学问题近似求解和编程实现能力。本科目主要考查考生对计算数学基础理论的掌握及考生的基本数值分析能力。从如下三方面测评考生的计算数学基本素质：

　　1.基本概念和基本理论

　　2.基本数值方法的构建及分析

　　3.综合算法分析及应用

　　三、考试形式

　　闭卷考试，本部分满分为50分。

　　试卷结构：

　　数值逼近的基本内容约占40%;

　　代数方程的数值方法及分析约占40%;

　　微分方程数值解法及分析约占20%。

　　四、考试内容

　　(一)数值逼近基础

　　1.误差(误差来源，误差限，有效数字，误差传播，避免误差的注意事项)

　　2.插值法(Lagrange插值，Hermite插值，分段插值，分段Hermite插值, 样条插值，数值微分)

　　3.数据拟合法(最小二乘原理，多变量拟合，正交多项式拟合)

　　4.数值积分(梯形、Simpson公式及误差估计，复化公式及误差估计，加速公式与Romberg求积，Gauss型公式等)

　　(二)代数方程数值方法

　　1.线性方程组的直接法 (高斯消去法、主元消去法、矩阵分解法、误差分析)

　　2.线性方程组的迭代法 (几种常用迭代法收敛性及误差估计、判别收敛的条件、收敛速率)

　　3.矩阵特征值和特征向量的计算 (幂法、反幂法、QR算法、Jacobi方法)

　　4.非线性代数方程的解法 (对分区间法、迭代法、迭代收敛的加速、Newton法、弦位法、抛物线法、最速下降法)

　　(三)微分方程数值方法

　　1.常微分方程的数值解法(几种简单的数值解法、R-K方法、线性多步法、预估校正公式、自动选取步长及事后估计)

　　2.偏微分方程的差分解法(差分格式的建立、收敛性、稳定性、高维问题的交替方向法)

　　五、是否需使用计算器

　　否。

　　③常微分方程

　　一、考试性质

　　常微分方程是数学相关专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。

　　二、考查目标

　　要求考生能正确理解常微分方程的基本概念，掌握一些基本理论和各种类型方程求解的主要方法，具有一定的解题能力。同时，要求考生具有分析与解决问题的能力。

　　三、考试形式

　　闭卷考试，本部分满分为50分。

　　试卷结构：客观题与计算题约占50%; 综合题与证明题约占50%

　　四、考试内容

　　考试内容：初等积分法;基本定理;一阶线性微分方程组;n 阶线性微分方程;定性理论与稳定性理论简介;一阶偏微分方程初步。

　　1.初等积分法部分：能用初等(积分)解法求解常微分方程的可积类型，掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。

　　2.基本定理部分包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。解的存在唯一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。考生需理解上述定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理证明有关问题。重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理证明过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握。

　　3.一阶线性微分方程组是常微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角度或从理论的角度来说，一阶线性微分方程组所提供的方法和结果都是非常重要的。基本要求：(1). 掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构;(2).基解矩阵求法。一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法(Jordan标准型、矩阵指数)求出基解矩阵。(3).重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是n 维线性空间和一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。

　　4.n 阶线性微分方程是值得重视的方程，这不仅仅因为n阶线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且它是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有广泛的应用。重点掌握n阶线性微分方程的基本理论和常系数n阶线性微分方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法作简单了解。熟悉Laplace变换是求解n阶常系数线性微分方程初值问题的方法。把握n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，能够将一阶线性微分方程组的有关结果推广到n 阶线性微分方程，以统一的观点理解这两部分的内容。

　　5.定性理论与稳定性理论简介主要介绍定性理论和稳定性理论，定性理论产生与发展与生产实践和物理、力学以及工程技术问题紧密联系，它主要研究轨线在相平面或相空间的分布以及极限环或周期轨的稳定性和不稳性等问题。稳定性理论研究平衡态的稳定性问题，主要研究方法是李雅普诺夫第一方法和第二方法。在现代科学技术中，无论是定性理论还是稳定性理论都有着极其广泛的应用。对定性理论和稳定性理论有所了解，能够用李雅普诺夫第二方法判断平衡点的稳定性问题。

　　6.一阶偏微分方程部分：对一阶偏微分方程的理论和方法有所了解，会求解简单的一阶线性齐次偏微分方程和一阶拟线性非齐次偏微分方程问题。

　　五、是否需使用计算器

　　否。

　　④概论论与数理统计

　　一、考试性质

　　概率论与数理统计是数学相关专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。

　　二、考查目标

　　要求学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法。对相关定理和统计方法有较为深刻的理解，具有分析问题和解决问题的基本技能，为深入学习随机过程和高级数理统计知识做好必要的准备。

　　本科目旨在考查考生对概率论与数理统计基础理论、基本知识的掌握情况。主要从如下三方面测评考生在概率论与数理统计方面的能力：

　　1、基本概念和基本理论的理解、掌握;

　　2、基本解题能力;

　　3、综合运用理论知识分析问题、解决问题的能力。