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2025年中国海洋大学硕士研究生《数学分析》初试考试大纲

来源:在职研究生招生网 时间:2024-08-22 14:04:02
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  一、考试性质

  数学分析是数学硕士研究生入学初试考试的专业基础课程。

  二、考查目标

  根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求,力求反映与数学相关的硕士学位的特点,客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况,为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。

  测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论;掌握数学分析的基本论证方法和常用结论;具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。

  三、考试形式

  本考试为闭卷考试,满分为150分,考试时间为180分钟。

  试卷结构:一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他(隐函数理论、场论等)考核的比例均约为1/3,分值均约为50分。

  四、考试内容

  (一) 变量与函数

  1、实数:实数的概念、性质,区间,邻域;

  2、函数:变量,函数的定义,函数的表示法,几何特征(有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数),运算(四则运算、复合函数、反函数),基本初等函数,初等函数。

  (二) 极限与连续

  1、数列极限:定义(e-N语言),性质(唯一性,有界性,保号性,不等式性、迫敛性),数列极限的运算,数列极限存在的条件(单调有界准则(重要的数列极限),迫敛性法则,柯西收敛准则);

  2、无穷小量与无穷大量:定义,性质,运算,阶的比较;

  3、函数极限:概念(在一点的极限,单侧极限,在无限远处的极限,函数值趋于无穷大的情形(e-d, e-X语言));性质(唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性);函数极限存在的条件(迫敛性法则,归结原则(Heine定理),柯西收敛准则);运算;

  4、两个常用不等式和两个重要函数极限(

  5、连续函数:概念(在一点连续,单侧连续,在区间连续),不连续点及其分类;连续函数的性质与运算(局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(有界性、最值性、零点存在性,介值性、一致连续性),复合函数的连续性,反函数的连续性);初等函数的连续性。

  (三)实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

  1、概念:子列,上、下确界,区间套,区间覆盖;

  2、关于实数的基本定理:六个等价定理(确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理);

  3、闭区间上连续函数性质的证明:有界性定理的证明,最值性定理的证明,零点存在定理的证明,反函数连续性定理的证明;一致连续性定理的证明。

  (四)导数与微分

  1、导数:来源背景,定义(在一点导数的定义、单侧导数、导函数),导数的几何意义,简单函数的导数(常数、正弦函数、对数函数、幂函数),求导法则(四则运算,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则,参数方程所表示函数的求导法则);

  2、微分:定义,运算法则,简单应用;

  3、高阶导数与高阶微分:定义,运算法则。

  (五)微分学基本定理及导数的应用

  1、中值定理:费马(Fermat)定理,中值定理(罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理);

  2、泰勒公式及应用(近似计算,误差估计);

  3、导数的应用:函数的单调性、极值和最值,函数凸性与拐点,平面曲线的曲率,七种待定型与洛必达(L’Hospital)法则;

  (六)不定积分

  1、不定积分:概念,基本公式,运算法则,计算(换元积分法、分部积分法、有理函数积分法,其他类型积分)。

  (七)定积分

  1、定积分:来源背景,概念,函数可积的必要条件,达布上、下和,定积分存在的充要条件,可积函数类(闭区间上的连续函数,分段连续函数,单调有界函数),定积分的性质,定积分的计算(基本公式、换元公式、分部积分公式);

  2、变上限定积分:定义,性质。

  (八)定积分的应用

  1、定积分在几何上的应用:平面图形的面积,曲线的弧长,截面已知的立体体积,旋转体的体积,旋转曲面的面积;

  2、定积分在物理上的应用:功、压力、引力;

  3、微元法。

  (九)数项级数

  1、预备知识:上、下极限;

  2、级数的敛散性:无穷级数收敛、发散等概念,柯西收敛原理,收敛级数的基本性质;

  3、正项级数:定义,敛散判别(基本定理,比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,柯西积分判别法);

  4、任意项级数:绝对收敛级数与条件收敛级数的概念和性质,交错级数与莱布尼兹判别法,阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法。

  (十)反常积分

  1、反常积分:无穷限的反常积分的概念、性质,敛散判别法(柯西收敛原理,比较判别法,狄利克雷判别法、阿贝尔判别法);无界函数的反常积分的概念、性质,敛散判别法。

  (十一)函数项级数、幂级数

  1、函数项级数的一致收敛性:函数项级数以及函数列的概念,函数项级数以及函数列一致收敛的概念,一致收敛判别法(柯西收敛原理,优级数判别法,狄利克雷判别法与阿贝尔判别法);一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性,可积性,可微性);

  2、幂级数:阿贝尔第一、第二定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质(连续性,可积性,可微性),泰勒(Taylor)级数与几种常见的初等函数的幂级数展开。

  (十二)傅里叶级数

  1、傅里叶级数:引进,三角函数系的正交性, 傅里叶系数与傅里叶级数,以2π为周期的函数的傅里叶级数展开,以2L(L>0)为周期的函数的傅里叶级数展开,奇偶函数的傅里叶级数展开,傅里叶级数收敛定理的证明。

  (十三)多元函数的极限与连续

  1、平面点集:邻域,点列的极限,开集,闭集,区域,平面点集的几个基本定理;

  2、二元函数:概念,二重极限和二次极限,连续性(连续的概念、连续函数的局部性质及有界闭区域上连续函数的整体性质)。

  (十四)偏导数和全微分

  1、偏导数和全微分:偏导数的概念,几何意义;全微分的概念;二元函数的连续性、可微性,偏导存在的关系;复合函数微分法(链式法则);由方程组所确定的函数(隐函数)的求导法;

  2、偏导数的应用:空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线;方向导数与梯度;泰勒公式。

  (十五)极值和条件极值

  1、极值:概念,判别(必要条件、充分条件),应用,最小二乘法;

  2、条件极值:概念,拉格朗日乘数法,应用。

  (十六)隐函数存在定理

  1、隐函数:概念,存在定理;

  2、隐函数组:隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式。

  (十七)含参变量积分与含参变量广义积分

  1、含参变量的正常积分:定义,性质(连续性、可微性、可积性);

  2、含参变量的反常积分:定义,一致收敛的定义,一致收敛积分的判别法(柯西收敛原理、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄立克雷判别法),一致收敛积分的性质(连续性、可微性、可积性);

  3、欧拉积分:

  B函数和R函数的定义、性质。

  (十八)重积分的计算及应用

  1、二重积分:二重积分的概念,性质,计算(化二重积分为二次积分,换元法(极坐标变换,一般变换);

  2、三重积分:计算(化三重积分为三次积分, 换元法(一般变换,柱面坐标变换,球面坐标变换));

  3、重积分的应用:立体体积,曲面的面积,物体的质心,矩,引力,转动惯量;

  (十九)曲线积分与曲面积分

  1、曲线积分:第一型曲线积分及第二型曲线积分的来源背景、概念、性质、应用与计算,两类曲线积分的联系;

  2、曲面积分:第一型曲面积分及第二型曲面积分的来源背景、概念、性质、应用与计算,两类曲面积分的联系。

  (二十)各种积分间的联系和场论初步

  1、各种积分间的联系公式:格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式;

  2、曲线积分与路径无关性:四个等价条件。

  3、场论初步:场的概念,梯度,散度和旋度,保守场,哈密顿算子(算子

  五、是否需使用计算器

  否。

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